Двоичная система счисления

Двоичная система счисления - это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления числа записываются с помощью двух символов (1 и 0). Компьютер может различить только нулевое и единичное состояние бита, и работает компьютер в системе исчисления с основанием 2 или в двоичной системе.

Бит получил свое название от английского Binary digit (двоичная цифра).

Сочетанием двоичных цифр (битов) можно представить любое значение. Значение двоичного числа определяется относительной позицией каждого бита и наличием единичных битов. Ниже показано восьмибитовое число, содержащее все единичные биты:

Значения: 128 64 32 16 8 4 2 1 биты: 1 1 1 1 1 1 1 1

Самая правая цифра имеет весовое значение 1, следующая цифра влево - 2, следующая - 4 и т.д. Общая сумма для восьми единичных битов в данном случае составит 255:

(1+2+4+8+16+32+64+128=255)

Преобразование чисел

Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два.

Первый вариант: Преобразование десятичных чисел в двоичные

Допустим, нам нужно перевести число 17 в двоичное. Согласно таблице степеней оснований (см. выше) 17=16+1. Значит на место значимых цифр 16 и 1 ставим 1 - остальные нули. Получаем 17=10001

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

Второй вариант: Преобразование десятичных чисел в двоичные

Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой:

19 /2 = 9 с остатком 1 9 /2 = 4 c остатком 1 4 /2 = 2 с остатком 0 2 /2 = 1 с остатком 0 1 /2 = 0 с остатком 1

Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в начало двоичной записи. Продолжаем делить на 2 частные от деления до тех пор, пока частное не станет равным 0. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011.

Первый вариант: Преобразование двоичных чисел в десятичные

В обратную сторону нужно десятичные сложить, основываясь на таблице степеней основания 2.

Арифметические действия в двоичном формате

Компьютер выполняет арифметические действия только в двоичном формате. Поэтому, необходимо знать правила сложения в двоичной системе исчисления. Напомним их:

0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10

Давайте рассмотрим использование этих правил на конкретном примере.

Пример: сложить числа 65 и 42, представленные в двоичной системе исчисления.

В десятичной системе исчисления все осуществляется достаточно просто: 65+42=107. Для сложения этих чисел в двоичной системе исчисления нужно сначала перевести их в эту систему, например, как показано на рисунке: Таким образом, получаем: 65 в 10-ой системе = 01000001 в 2-ой системе. Обратите внимание на то, что ведущий ноль в двоичном представлении числа добавлен для дополнения двоичного представления до восьми бит. Аналогично: 42 в 10 = 00101010 в 2. Выполним сложение этих чисел:

01000001 + 00101010 -------- 01101011

Можете перепроверить и убедиться, что 01101011 в 2=107 в 10:

0*27+1*26+1*25+0*24+1*23+0*22+1*21+1*20 = 64+32+8+2+1 = 107

Вычитание

Для выполнения операции вычитания последнее заменяется сложением, а в качестве второго слагаемого берется противоположное число. Например, пусть надо выполнить вычитание: 65 - 42. Заменим его сложением: 65 + (-42).

Двоичные числа имеют положительные значения, что обозначается нулевым значением самого левого, старшего разряда. Отрицательные двоичные числа содержат единичный бит в старшем разряде.

Преобразование десятичных чисел в 16- систему

27 /16 = 1 с остатком 11 11 /16 = 0 c остатком 1

И того получим 1B .

Остаток от деления на 16 всегда меньше 16. Это относится ко всем системам счисления.

Рассмотрим несколько простых примеров шестнадцатеричной арифметики. Следует помнить, что после шестнадцатеричного числа F следует шестнадцатеричное 10, что равно десятичному числу 16:

6+4=A 5+8=D F+1=10 F+F=1E 10+10=20 FF+1=100

Система счисления - это способ отображения чисел на бумаге. Они используются в расчетах на оборудовании и цифровой аппаратуре. Двоичная система счисления сейчас представляет собой один из наиболее востребованных инструментов в вычислительных приборах. Рассмотрим особенности работы с этой системой счисления.

История возникновения двоичной системы счисления

Ученые древнего мира предложили производить вычисления, используя лишь 2 цифры, и предположили, что за таким методом расчета будущее. Это объясняется простотой такого метода исчисления: всего 2 положения (0 и 1), 2 позиции, например, есть сигнал или нет сигнала. Немецкий математик Лейбниц полагал, что математические операции, осуществляемые над 2 цифрами, несут в себе определенный порядок.

До 40-х годов 20 века теория двоичной системы не развивалась, пока американский ученый Клод Шеннон не предложил применять ее в работе электронных схем. Оказалось, что их использование в ПЭВМ гораздо предпочтительнее, ведь человеку непросто запоминать громоздкое скопление нулей и единиц. А в компьютере достаточно создать устройство, имеющее логические 0 и 1, то есть обладающее не более 2 логическими состояниями. Это может быть намагниченный или размагниченный сердечник, закрытый или открытый трансформатор и т.д. Всего 2 положения, а не 10, как могло бы быть при использовании десятичной системы при компьютерных вычислениях.

Характеристики двоичной системы счисления

К особенностям двоичной системы счисления следует отнести:

• Использование всего пары цифр (0 и 1). Основание такой системы равно 2.
• Алгебраические операции, проводимые с числами из двух цифр, не представляют большой сложности.
• Хранение и преобразование сигналов видеоаппаратурой и приборами записи осуществляется в коде, состоящем из 0 и 1.
• Цифровые каналы связи обмениваются данными, используя их представление в виде 0 и 1.

Счет в двоичной системе

И затем для каждой цифры по порядку идет повышение разряда:

100 - четыре.

110 - шесть.

После 7 цифры записываются в виде 4 разрядов:

1000 - восемь.

1001 - девять.

1010 - десять.

1011 - одиннадцать.

1100 - двенадцать.

1101 - тринадцать.

1110 - четырнадцать.

Перевод чисел из двоичной системы в десятичную

Представление десятичных чисел в двоичной системе делает их довольно громоздкими. Рассмотрим как происходит обратный процесс: перевод числа, состоящего из 0 и 1, в удобный для нас вид. Например, нужно перевести двоичный код 10101110 в десятичный вид.

Его можно разбить по степеням, как это выполняется в десятичной системе. Так, число 1587 можно отобразить как:

1000 + 500 + 80 + 7.

Или еще одним способом:

1*10 3 + 5*10 2 + 8*10 1 + 7*10 0 .

В предыдущей записи просуммированы степени, соответствующие разряду каждой цифры за вычетом 1. За основание степени взято число10, потому что это десятичная система счисления. Этот метод можно применить к числу, представленному в двоичном виде. Только за основание степени следует брать цифру 2. Получается:

10101110 = 1*2 7 + 0*2 6 + 1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 1*2 1 + 0*2 0 = 128 + 0 + 32 + 0 + 8 + 4 + 2 + 0 = 174.

Степени двойки выбираются по следующему принципу: необходимо посчитать разряд цифры и вычесть 1 из этого значения. Следует помнить, что разряд увеличивается справа налево. Так, самая первая единица имеет восьмой разряд, тогда ее надо умножить на 2 7 и т.д.

Таким образом, двоичная форма числа 10101110 - это 174 в десятичном представлении. Корректная запись выглядит так:

10101110 2 = 174 10 .

Бывает необходимость в обратном процессе: перевести десятичный вид записи в последовательность из 0 и 1. Это выполняется путем деления на 2 и образованием двоичного числа из остатка. Например, число 69.

Делимое	Делитель	Частное	Остаток
69	2	34	1
34	2	17	0
17	2	8	1
8	2	4	0
4	2	2	0
2	2	1	0
1	2	0	1

Смотрим на остаток. Получаем число в двоичной форме, начиная с последней строчки: 1000101 (эти цифры расположены в столбце «Остаток», если смотреть снизу вверх). Нужно проверить полученный результат:

1000101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 4 +1 = 69.

Математические операции с двоичными числами

Сложение.

Это основная арифметическая операция при расчетах на компьютерах. Основные принципы сложения двоичных чисел опираются на правила:

Таким образом, складывая в столбик 1101 2 и 110 2 , получаем 10011 2 или 19 10 .

Вычитание .

Эта операция идентична сложению, если представить, что одно из двоичных чисел является отрицательным. В таком случае нужно учитывать модули складываемых чисел.

Правила, используемые при вычитании:

0 - 1 = 1 (занимаем из старшего разряда).

Например, вычитаем из 1110 2 число 101 2 , получаем 1001 2 или 9 10 .

Умножение .

На бумаге умножение представляет собой совокупность операций сложения. Например, необходимо произвести умножение 10 10 на 40 10 .

Преобразуем их в совокупность 0 и 1:

10 10 =00001010 2

40 10 = 00101000 2

Оба числа в двоичной форме имеют слева и справа несколько нулей, которые не играют роли в операции умножения. Значимые части - это 101 в числе 10 и 101 в числе 40, расположенные между нулями. Их нужно перемножить, а нули просто дописать в итоговом результате:

Перемножаем левую и правую единицу второго множителя на первый множитель, затем суммируем полученный промежуточный результат. Нули складываем и переписываем в итоговый результат умножения, который в двоичной форме выглядит так: 000000110010000 2 (нижняя строчка слева направо).

Проверяя, получаем:

1 * 2 8 + 1 * 2 7 + 1 * 2 4 = 256 + 128 + 16 = 400.

Деление .

Рассмотрим наиболее простой пример деления без остатка. Надо разделить 14 10 на 2 10 . В двоичном виде это выглядит так:

14 10 = 1110 2 .

Делим 1110 2 на 10 2 в столбик:

1110 |10

Получаем число 111 2 , что равняется 7 в десятичной системе счисления. При проверке умножением доказываем точность результата:

Смотрим на нижнюю строчку слева направо, результат умножения - 1110 2 . Ответ верный.

С двоичной системой счисления мы сталкиваемся при изучении компьютерных дисциплин. Ведь именно на базе этой системы построена работа процессора и некоторые виды шифрования. Существуют специальные алгоритмы для записи десятичного числа в двоичной системе и наоборот. Если знать принцип построения системы, оперировать в ней будет несложно.

Принцип построения системы из нулей и единиц

Двоичная система счисления построена с использованием двух цифр: ноль и один. Почему именно эти цифры? Это связано с принципом построения сигналов, которые используются в работе процессора. На самом низком уровне сигнал принимает только два значения: «ложь» и «истина». Поэтому было принято отсутствие сигнала, «ложь», обозначать нулем, а наличие его, «истину», единицей. Такое сочетание легко реализовать технически. Числа в двоичной системе формируются так же, как и в десятичной. Когда разряд достигает своей верхней границы, он обнуляется, и добавляется новый разряд. По такому принципу осуществляется переход через десяток в десятичной системе. Таким образом, числа состоят из сочетаний нулей и единиц, и это сочетание называется "двоичная система счисления".

Запись числа в системе
В десятичной	В двоичной	В десятичной	В двоичной

Как двоичное число записать в виде десятичного?

Существуют онлайн-сервисы, которые осуществляют перевод числа в двоичную систему и наоборот, но лучше уметь делать это самостоятельно. Двоичная система при переводе обозначается нижним индексом 2, например, 101 2 . Каждое число в любой системе можно представить в виде суммы чисел, например: 1428 = 1000 + 400 + 20 + 8 - в десятичной системе. Так же представляется число в двоичной. Возьмем произвольное число 101 и рассмотрим его. В нем 3 разряда, поэтому раскладываем число по порядку таким способом: 101 2 =1×2 2 +0×2 1 +1×2 0 =4+1=5 10, где индекс 10 обозначает десятичную систему.

Как записать простое число в двоичной системе?

Очень легко осуществить перевод в двоичную систему счисления с помощью деления числа на два. Делить необходимо до тех пор, пока это будет возможно выполнить нацело. Например, возьмем число 871. Начинаем делить, обязательно записывая остаток:

871:2=435 (остаток 1)

435:2=217 (остаток 1)

217:2=108 (остаток 1)

Ответ записывается по полученным остаткам по направлению от конца к началу: 871 10 =101100111 2 . Проверить правильность вычислений можно с помощью обратного перевода, описанного ранее.

Для чего нужно знать правила перевода?

Двоичная система счисления применяется в большинстве дисциплин, связанных с микропроцессорной электроникой, кодированием, передачей и шифрованием данных, в различных направлениях программирования. Знания основ перевода из любой системы в двоичную помогут программисту разрабатывать различные микросхемы и осуществлять управление работой процессора и других подобных систем программным способом. Двоичная система счисления также необходима для реализации способов передачи пакетов данных по зашифрованным каналам и создания на их основе программных проектов типа «Клиент-сервер». В школьном курсе информатики основы перевода в двоичную систему и наоборот являются базовым материалом для изучения программирования в будущем и создания простейших программ.

Системы счисления

Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные . Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами .

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:

Например, VI = 5 + 1 = 6, а IX = 10 - 1 = 9.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией . Первая известная нам система, основанная на позиционном принципе - шестидесятeричная вавилонская. Цифры в ней были двух видов, одним из которых обозначались единицы, другим - десятки. Следы вавилонской системы сохранились до наших дней в способах измерения и записи величин углов и промежутков времени.

Однако наибольшую ценность для нас имеет индо-арабская десятичная система. Индийцы первыми использовали ноль для указания позиционной значимости величины в строке цифр. Эта система получила название десятичной , так как в ней десять цифр.

Для того чтобы лучше понять различие позиционной и непозиционной систем счисления, рассмотрим пример сравнения двух чисел. В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом: в рассматриваемых числах слева направо сравниваются цифры, стоящие в одинаковых позициях. Большая цифра соответствует большему значению числа. Например, для чисел 123 и 234, 1 меньше 2, поэтому число 234 больше, чем число 123. В непозиционной системе счисления это правило не действует. Примером этого может служить сравнение двух чисел IX и VI. Несмотря на то, что I меньше, чем V, число IX больше, чем число VI.

Основание системы счисления, в которой записано число, обычно обозначается нижним индексом. Например, 555 7 - число, записанное в семеричной системе счисления. Если число записано в десятичной системе, то основание, как правило, не указывается. Основание системы - это тоже число, и его мы будем указывать в обычной десятичной системе. Вообще, число x может быть представлено в системе с основанием p, как x=a n *p n +a n-1 *p n-1 + a 1 *p 1 +a 0 *p 0 , где a n ...a 0 - цифры в представлении данного числа. Так, например,

1035 10 =1*10 3 +0*10 2 +3*10 1 +5*10 0 ;

1010 2 = 1*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 10.

Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16. Вообще говоря, этих систем счисления обычно хватает для полноценной работы как человека, так и вычислительной машины. Однако иногда в силу различных обстоятельств все-таки приходится обращаться к другим системам счисления, например к троичной, семеричной или системе счисления по основанию 32.

Для того чтобы нормально оперировать с числами, записанными в таких нетрадиционных системах, важно понимать, что принципиально они ничем не отличаются от привычной нам десятичной. Сложение, вычитание, умножение в них осуществляется по одной и той же схеме.

Почему же мы не пользуемся другими системами счисления? В основном потому, что в повседневной жизни мы привыкли пользоваться десятичной системой счисления, и нам не требуется никакая другая. В вычислительных же машинах используется двоичная система счисления , так как оперировать над числами, записанными в двоичном виде, довольно просто.

Часто в информатике используют шестнадцатеричную систему, так как запись чисел в ней значительно короче записи чисел в двоичной системе. Может возникнуть вопрос: почему бы не использовать для записи очень больших чисел систему счисления, например по основанию 50? Для такой системы счисления необходимы 10 обычных цифр плюс 40 знаков, которые соответствовали бы числам от 10 до 49 и вряд ли кому-нибудь понравится работать с этими сорока знаками. Поэтому в реальной жизни системы счисления по основанию, большему 16, практически не используются.

Двоичная система счисления

Люди предпочитают десятичную систему , вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам. Но, не всегда и не везде люди пользовались десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время применялась пятеричная система счисления. В ЭВМ используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими:

для ее реализации используются технические элементы с двумя возможными состояниями (есть ток - нет тока, намагничен - ненамагничен);

представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво ;

возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

двоичная арифметика проще десятичной (двоичные таблицы сложения и умножения предельно просты).

В двоичной системе счисления всего две цифры, называемые двоичными (binary digits ). Сокращение этого наименования привело к появлению термина бит , ставшего названием разряда двоичного числа. Веса разрядов в двоичной системе изменяются по степеням двойки. Поскольку вес каждого разряда умножается либо на 0, либо на 1, то в результате значение числа определяется как сумма соответствующих значений степеней двойки. Если какой-либо разряд двоичного числа равен 1, то он называется значащим разрядом. Запись числа в двоичном виде намного длиннее записи в десятичной системе счисления .

Арифметические действия, выполняемые в двоичной системе, подчиняются тем же правилам, что и в десятичной системе. Только в двоичной системе перенос единиц в старший разряд возникает чаще, чем в десятичной. Вот как выглядит таблица сложения в двоичной системе:

Рассмотрим подробнее, как происходит процесс умножения двоичных чисел. Пусть надо умножить число 1101 на 101 (оба числа в двоичной системе счисления ). Машина делает это следующим образом: она берет число 1101 и, если первый элемент второго множителя равен 1, то она заносит его в сумму. Затем сдвигает число 1101 влево на одну позицию, получая тем самым 11010, и если, второй элемент второго множителя равен единице, то тоже заносит его в сумму. Если элемент второго множителя равен нулю, то сумма не изменяется.

Двоичное деление основано на методе, знакомом вам по десятичному делению, т. е. сводится к выполнению операций умножения и вычитания. Выполнение основной процедуры - выбор числа, кратного делителю и предназначенного для уменьшения делимого , здесь проще, так как таким числом могут быть только либо 0, либо сам делитель.

Следует отметить, что большинство калькуляторов, реализованных на ЭВМ (в том числе и KCalc) позволяют осуществлять работу в системах счисления с основаниями 2, 8, 16 и, конечно, 10.

8-ная и 16-ная системы счисления

При наладке аппаратных средств ЭВМ или создании новой программы возникает необходимость "заглянуть внутрь" памяти машины, чтобы оценить ее текущее состояние. Но там все заполнено длинными последовательностями нулей и единиц двоичных чисел. Эти последовательности очень неудобны для восприятия человеком, привыкшим к более короткой записи десятичных чисел. Кроме того, естественные возможности человеческого мышления не позволяют оценить быстро и точно величину числа, представленного, например, комбинацией из 16 нулей и единиц.

Для облегчения восприятия двоичного числа решили разбивать его на группы разрядов, например, по три или четыре разряда. Эта идея оказалась очень удачной, так как последовательность из трех бит имеет 8 комбинаций, а последовательность из 4 бит - 16. Числа 8 и 16 являются степенями двойки, поэтому легко находить соответствие с двоичными числами. Развивая эту идею, пришли к выводу, что группы разрядов можно закодировать, сократив при этом длину последовательности знаков. Для кодировки трех битов требуется восемь цифр, поэтому взяли цифры от 0 до 7 десятичнойсистемы . Для кодировки же четырех битов необходимо шестнадцать знаков; для этого взяли 10 цифр десятичной системы и 6 букв латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Полученные системы, имеющие основания 8 и 16, назвали соответственно восьмеричной и шестнадцатеричной.

В восьмеричной (octal ) системе счисления используются восемь различных цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Основание системы - 8. При записи отрицательных чисел перед последовательностью цифр ставят знак минус. Сложение, вычитание, умножение и деление чисел, представленных в восьмеричной системе, выполняются весьма просто подобно тому, как это делают в общеизвестной десятичной системе счисления.

В шестнадцатеричной (hexadecimal ) системе счисления применяется десять различных цифр и шесть первых букв латинского алфавита. При записи отрицательных чисел слева от последовательности цифр ставят знак минус. Для того чтобы при написании компьютерных программ отличить числа, записанные в шестнадцатеричной системе, от других, перед числом ставят 0x. То есть 0x11 и 11 - это разные числа. В других случаях можно указать основание системы счисления нижним индексом.

Шестнадцатеричная система счисления широко используется при задании различных оттенков цвета при кодировании графической информации (модель RGB). Так, в редакторе гипертекста Netscape Composer можно задавать цвета для фона или текста как в десятичной, так и шестнадцатеричной системах счисления.

Система счисления – способ представления чисел, опирающийся на некоторое число п знаков, называемых цифрами. Число, равное количеству знаков п, употребляемых для обозначения количества единиц каждого разряда, называется основанием системы счисления.

Происхождение наиболее распространенной десятичной системы связано с пальцевым счетом. Существовавшая в Древнем Вавилоне шестидесятиричная система осталась в делении часа и градуса угла на 60 минут и минут – на 60 секунд. В России до XVIII в. существовала десятичная система счисления, основанная на буквах алфавита а, в, г... с чертой над буквой (от греческих букв: альфа, бета, гамма).

Современная десятичная система основана на десяти цифрах, начертание которых 0, 1, 2, ..., 9 сформировалось в Индии к V в. н.э. и пришло в Европу с арабскими рукописями ("арабские цифры"). Двоичная система использует две цифры: 0 и 1. Шестнадцатиричная система использует 16 символов: 0, 1, 2, ..., 29, А, В, С, D, E, F. Эти системы счисления называются позиционными , так как значение каждой цифры числа определяется по ее месту (позиции, разряду) в ряду чисел, составляющих данное число. Позиция отсчитывается справа налево; так, в десятичной системе: нулевой разряд – разряд единиц, первый разряд – разряд десятков, второй разряд – разряд сотен, потом тысячи и т.д.

В непозиционных системах счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе.

Например, 1 – I, 2 – II, 5 – IIIII.

Римская система счисления (I, II, III, IV, V) является смешанной, так как значение каждой цифры частично зависит от ее места (позиции) в числе. Например, IV – это 4 = 5-1, а VI – это 6 = 5 + 1.

В десятичной системе каждый разряд может показать одно из 10 значений (цифру 0, 1, 2, ..., 9). Чтобы в десятичной системе записать следующее за девяткой число, добавляют слева новый разряд и ставят в его позицию цифру 1, после нее ноль и получается 10, т.е. десять. Два разряда в десятичной системе позволяют записать сто чисел: от 0 до 99, потом придется дописывать новый разряд для числа 100.

Цифры десятичного числа определяют число по основанию системы счисления и по нумерации разрядов с помощью, например, такой формулы: 256 = 2 102 + 5 101 + 6 100, где значение цифры умножается на 10 в степени "разряд цифры". В числе 256 цифра 2 стоит во втором разряде и означает две сотни, поэтому умножается на 102; цифра 5 стоит в первом разряде, означает 5 десятков и умножается на 101; цифра 6 стоит в нулевом разряде и умножается на 1, т.е. на 100.

Двоичная система счисления

В двоичной системе числом в один разряд можно записать только два значения: 0 или 1, и все – возможности разряда кончились. Два разряда в двоичном числе позволяют записать четыре разных числа, а три разряда – восемь чисел. Увеличивая разрядность цифр в числе до N разрядов, можно в двоичной системе описать 2 х разных чисел, сосчитать 2 х объектов.

Пусть в системе счисления с основанием р записано четырехзначное число х , цифры в котором обозначим знаками с индексом внизу α 3α 2α 1α 0. Здесь а 0 – знак (цифра) для нулевого разряда, a 1 – для первого разряда и т.д.

Число можно представить выражением

х = а 3 р 3 + а 2 р 2 + а 1 р 1 + а 0 р 0.

Сравним запись десятичного числа 1946 = 1 103 + 9 102 + 4 101 + 6 100 и двоичного 1010 = 1 23 + 0 22 + 1 21 + 0 20. Показатель степени, в которую необходимо возвести основание р исходной системы счисления, совпадает с номером соответствующей позиции.

Так как компьютер использует двоичную систему счисления, в нем важную роль играют и часто упоминаются числа, служащие степенью числа 2, например: 8 (23), 64 (26), 128 (27), 256 (28). Самое большое 8-разрядное число с восемью двоичными единицами 11111111 = 1 27 + 1 26 + 1 25 + 1 24 + 1 23 + 1 22 + 1 21 + 1 20 равно десятичному числу 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255. Вместе с нулем получается как раз 256 целых чисел, что равно 28.

Шестнадцатиричная система – система чисел по основанию 16, использующая цифры от 0 до 9 и прописные или строчные буквы латинского алфавита от А (эквивалент десятичного числа 10) до F (эквивалент десятичного числа 15). То есть в шестнадцатиричной системе счисления знаки-цифры – 0, 1, 2, 9, А, В, С, D, E, F. Число в двоичной системе разбивается на группы по четыре двоичных знака. Одна группа дает 24 = 16 комбинаций. Десятичное число 396 в двоичной системе обозначается как 110001100, а в шестнадцатиричной системе как 18С. Соответствие десятичных, двоичных и шестнадцатиричных чисел показано в табл. 1.1.

Шестнадцатиричная система счисления применяется для обозначений адресов ячеек оперативной памяти компьютера, оттенков цвета и дает не такие длинные ряды цифр,

Таблица 1.1

Соответствие чисел: десятичные, двоичные, шестнадцатиричные

Десятичное число	Двоичное	Шестнадцатиричное число	Десятичное число	Двоичное	Шестнадцатиричное число

как давала бы двоичная система. Иногда после шестнадцатиричного числа пишут букву h (hexamal). Например, 321 /г соответствует десятичному 801 = 3 162 + 2 161 + 1 160, a FCh – это десятичное число 252 = 15 161 + 12 160.